第389节

第389节

　　“3 mod 4的素数，如果在n里头出现奇数次，那就没有解。”　　“如果都是偶数次，就能写。”　　“再具体的次数，我得算一下。”　　他答得不算慢。　　这是搞解析数论的教材标准答案。　　李东笑了一下，也没说对不对。　　“答得很标准。”　　“再来一位。”　　台下又有一只手举了起来。　　这一回是更后面靠门口的那一片。　　一个大概二十一、二岁，圆脸，看着很活泼的男生。　　“邱嘉源。”　　旁边人立马就有人嘀咕。　　“水木的那一位？”　　“对，IMO 22年金牌，大三。”　　“陶哲轩前几个月还转发过他一篇随手写的小笔记呢。”　　邱嘉源站起来。　　“我不从素因子分解走。”　　“我从几何走。”　　“你这个问题，本质是问平面上以原点为中心、半径为√n的那一圈圆周上，落了多少个整点。”　　“如果把所有n的解加起来，那就是平面上到原点距离不超过√N的整点总数。”　　“按面积估算，是πN左右。”　　“高斯做圆内整点的时候，给出过这个估计。”　　李东点了点头。　　“嗯，几何视角，正确。”　　“还有么？”　　台下又有一只手慢吞吞地举了起来。　　这一回是靠墙最边上一个戴着鸭舌帽的女生。　　李东朝她示意。　　“这位同学。”　　她站起来，声音不大。　　“我从生成函数走。”　　“考虑θ函数θ(q)=Σ q^(n?)。”　　“r?(n)，就是θ(q)?在 q^n这一项上的系数。”　　“所以这个问题，本质上是研究θ?这一个对象。”　　“……我只能走到这一步。”　　她坐了下去。　　李东在台上“哎”了一声。　　“这一位同学，已经站在下一站的门口了。”　　他冲她点了点头。　　“你这个方向，是对的。”　　“只不过它通向的，不是这一道题的答案。”　　“它通向的，是雅可比、克莱因、希尔伯特那一些人想了一辈子的另一座山。”　　“咱们今天先把这一座山过了，再谈下一座。”　　这句一出来。　　台下那一群研究生。　　有几个突然就坐直了。　　他们听出来了。　　李东说的“下一座山“。　　就是模形式。　　三位答完。　　教室里头反而更安静了。　　按理说，这三个答案已经把这道题“三个最常用的方向“都答全了。　　解析数论一个，几何一个，模形式一个。　　还能怎么答？　　李东在台上看了看下面。　　他嘴角微微地翘了一下。　　“三个答案，都对。”　　“但是都不彻底。”　　“第一位学长的答案告诉你哪些n有解、哪些n没解。”　　“第二位同学的答案告诉你解的总数大概是πN。”　　“最后这一位同学的答案告诉你，这东西最后能落到一个生成函数上头去。”　　“可是有一件事，他们三个人都没答。”　　他停顿了一下。　　“对一个具体的n，它到底有几组解？”　　“精确的几组。”　　“解数到底是怎么决定的？”　　“既不是素因子分解的'有/无'。”　　“也不是面积估算的'大概'。”　　“当然更不是θ?这一个对象的笼统描述。”　　“是一个精确到每一个n的闭形式的公式。”　　台下所有人此时都安静的听着。　　他们这才意识到。　　他们刚才答的三条路，都没碰到这个核心。　　有一种“我刚才答得很对，但是好像和你问的不是一回事“的尴尬感。　　李东转过身，在黑板上写了一行字。　　【r?(n)= 4·( d?(n)– d?(n))】　　然后他在下面一行接着写。　　【d?(n)=#{ d | n， d≡ 1 (mod 4)}】　　【d?(n)=#{ d | n， d≡ 3 (mod 4)}】　　他放下粉笔，转过身。　　“这是雅可比1828年给出的一个精确公式。”　　“对每一个n，它有几组解，看它的因子里头模4余1的有几个、模4余3的有几个，做一个差，再乘以4。”　　“完事。”　　台下“嘶”地一声。　　有几个研究生忍不住低声嘀咕了。　　“这……这是怎么写出来的？”　　“这两件事怎么扯上的？”　　李东笑了一下。　　他抬起手，在黑板上写了一组新的符号。　　【Z[i]={ a + bi : a， b∈Z}】　　“高斯整数。”　　“a加b乘i。”　　“a和b都是整数。”　　“在这一个新的数系里头，你做一件事。”　　“你把一个整数n，展开成它在Z[i]里的素因子分解。”　　他在黑板上画了一个分支。　　“在普通的整数里，5是素数。”　　“可是在Z[i]里，5 =(2 + i)(2– i)。”　　“它分裂了。”